LIMITES DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

Carlos Alberto Rengifo- Fredy Alexander Galeano

introducción 

Este trabajo esta definido a estudiantes de 11¨ grado ya que, hay estudiantes que  saben trabajar con limites, pero no saben casi nade de su definición; entonces nos enfocaremos en las definiciones y demostraciones antes que repetir ejercicios ya que, los estudiantes saben para que repetir ejercicios ya que los estudiantes saben hacer, pero no saben para que aprendieron a realizar los ejercicios de forma muy mecánica, ya que los profesores enseñaron limites de la siguiente forma:
lim 2x+1^ remplazando 
x-5
lim 2*5+1=10+1=11


objetivos

generar una definición geométrica lo mas explicita posible, para que el estudiante tenga una mejor noción de lo que significa limite y sus implicaciones,que tiene en el calculo.

Dar a conocer a los estudiantes los limites de una función variable, dando las bases para su desarrollo  y función  en la vida.

LIMITES DE UNA FUNCIÓN DE VARIABLE REAL

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R

Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.

Considérese la  función definida por:  y= f(x) = 2x²-x-1/x-1 ; x 1 el único punto en  el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?

Cuando   x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).

a medida que los valores de x, se “acercan” a 1, sin  tomar el valor de 1, los valores de f(x) se “acercan” a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que:

El “límite” de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior  frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas:

F (x) =3  cuando x–>1  (se lee: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).

O también, Lim f (x)=3 ; x–>1  (se lee: límite cuando x tiende a 1 de f(x) es 3). De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra “límite”, se dice que:

Lim f(x) = L; x–>a, si se puede hacer que f(x) este tan “cerca” de L como se quiera, haciendo que x este suficientemente “cerca” de a, pero siendo distinta de a.

PROPIEDADES DE LOS LIMITES

1)   

        Ej.  

2)    

       Ej    

3)    

       Ej. 

4) Si       y         entonces

       a) 

             Ej. 

       b) 

             Ej. 

       c)  

              Ej. 

       d)          (K0)

 Ej. 

       e) 

           Ej. 

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Actividad 



1. Demuestra, intuitivamente y formalmente, los siguientes limites:


(a) lim x!2 (2x ¡ 1) = 3                                  (b) lim x!4 p x = 2 


 (c) lim x!3 x 3 = 27



2.Calcula los siguientes limites:

(a) lim x!3 x 2 ¡ x ¡ 6 x ¡ 3                           (e) lim x!¡1µ x 2 x + 1¡x 3x2 + 1


(i) lim x!+1 tanh x                                    (b) lim x!¡1 x + 1 (2x 2 + 7x + 5)2


(f) lim x!+1 ³p x2 ¡ 1 ¡ x + 1´                         (j) lim x!+1 µ1 ¡1x lx


(c) lim x!3 2 ¡ p x + 1 x ¡ 3                                    (g) lim x!0 sinh x 


(k) lim x!+1µ 3x + 23x + 11x                      (d) lim x!+1p3x 4 ¡ 3x + 1 1 ¡ x 2


(h) lim x!¡1 cosh x                                        (l) lim x!1µ x 2 + 1x + 1 ¶